SERIE B - Maschinenbauer Mathe I, Teil 1

Dieser Umdruck THEORIE und AUFGABENSAMMLUNG MATHEMATIK I ( Teil 1 ) enthält kapitelweise gegliedert zunächst in bewußt knapp gehaltener Form die Theorie, wie sie zur Lösung der Aufgaben erforderlich ist. Diese Theorieteile wollen an schon Gehörtes oder Gelesenes erinnern und geben keine Auskunft darüber, wieso das denn alles so ist (dazu dienen die Vorlesungen oder die Fachliteratur).

Kurzinhalt:

u.a. Zahlen,Vollständige Induktion,Vektorrechnung, Analytische Geometrie der Ebene (R²), Analytische Geometrie des Raumes (R³), Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren

Anzahl der Aufgaben: 145

Anzahl der Seiten: 216

In jedem Kapitel schließen sich an den Theorieteil die Aufgaben mit Lösungen an. Der Übersichtlichkeit halber ist die Aufgabenstellung eingerahmt und mit einem graphic versehen. Die Aufgaben sind innerhalb jedes Kapitels fortlaufend numeriert, die zugehörige Lösung findet sich direkt im Anschluß an die jeweilige Aufgabenstellung. Das erspart zeitraubendes Hin- und Herblättern.

Vorschlag:

es bietet sich an, daß Sie die Übungsaufgaben Ihres Semesters mitsamt den in den Übungen gegebenen Lösungen einfach an jenen Stellen in den Umdruck einkleben, zu denen sie gebietsweise passen (falls sie nicht ohnehin schon hier im Umdruck enthalten sind).

Der vorliegende Umdruck will nicht eigenständiges Denken überflüssig machen. Einiges ist zwar in aller Breite dargestellt, andere Gedankengänge mag der Leser vielleicht erst nach eigenen (einfachen!) Rechnungen verstehen. Uns lag daran, besonders auf Beziehungen zwischen den einzelnen Aufgaben hinzuweisen. Dadurch sollten Sie lernen, nicht jedes Problem von Grund auf neu zu lösen, sondern auf schon Bekanntes oder Erarbeitetes zurückzugreifen.

Unser Tip:

Befassen Sie sich hauptsächlich mit den Themen und Aufgabentypen, die Sie noch nicht so gut beherrschen. Rechnen Sie so viele Aufgaben, wie eben möglich - und auch von der Art, die Sie noch nie mochten! (Insgesamt bieten wir Ihnen in diesem Umdruck vermutlich mehr Aufgaben an, als Sie bei knapper Zeit selbständig rechnen können. Wir wollen jedoch gewährleisten, daß zu jedem Themengebiet eine ausreichende Anzahl vorhanden ist.)

Gerade in der Mathematik ist es von großer Bedeutung, Übung im Umgang mit schnell wechselnden Aufgabentypen zu haben. Da genügt es nicht z.B. ungefähr zu wissen, wie man eine Funktion differenziert. Nur durch Routine wird es Ihnen gelingen, die Ihnen vorgesetzten Klausuren auch in der vorgegebenen Zeit möglichst vollständig zu bearbeiten. Und Sie können es schaffen (sicher!), wenn Sie sich die Mühe machen, Ihre Schwachpunkte rechtzeitig vor (!) der Klausur festzustellen und daran zu arbeiten.

Nun noch etwas:

Die Aufgaben, die Sie angehen, sollten Sie nicht nur überfliegen („So ähnlich hatten wir das ja schon ...“). In Prüfungen sind es meist nur „Kleinigkeiten“, an denen viel kostbare Zeit vergeudet wird bzw. bei denen Fehler gemacht werden: und meist sind es genau die „Kleinigkeiten“, die beim Durchlesen der Lösungen auch so leicht übersehen werden! Wir empfehlen daher, Aufgaben zumindest schriftlich nachzuvollziehen, wenn nicht sogar eigenständig zu lösen - den verbleibenden Rest dann aber noch sachverständig anzusehen.

Übrigens:

Es gibt im allgemeinen nicht nur einen Lösungsweg (verschiedentlich haben wir auch mehrere Lösungsalternativen nebeneinandergestellt). Sollten Sie also auf einem anderen Weg als hier dargestellt durch logisch folgerichtige Umformungen zu demselben Ergebnis kommen, freuen wir uns mit Ihnen und hoffen nur, daß Sie Ihre „genialen“ Gedanken nicht unnötig in Frage stellen, „weil es dort und hier ja anders steht“.

Daneben sind wir für jeden Hinweis auf Fehler (sachlicher oder formaler Art) dankbar.

INHALTSVERZEICHNIS:

KAPITEL 1:

Logik

2 Aufgaben

KAPITEL 2:

Mengenlehre

KAPITEL 3:

Abbildungen, Funktionen

KAPITEL 4: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen

4.1 Natürliche Zahlen

4.2 Ganze Zahlen

4.3 Rationale Zahlen

3 Aufgaben

KAPITEL 5: Reelle Zahlen

5.1 Verknüpfung reeller Zahlen

5.2 Beziehungen zwischen reellen Zahlen

5.3 Allgemeine Rechenregeln

5.4 Rechenregeln für Ungleichungen

5.5 Der absolute Betrag

5.6 Intervalle

9 Aufgaben

KAPITEL 6:

Permutationen/Binomialkoeffizienten

2 Aufgaben

KAPITEL 7:

Vollständige Induktion

13 Aufgaben

KAPITEL 8: Komplexe Zahlen

8.1 Definition von komplexen Zahlen

8.2 Operationen mit komplexen Zahlen

8.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen

8.4 Geometrische Deutung der komplexen Zahlen

23 Aufgaben

KAPITEL 9:

Fundamentalsatz der Algebra

2 Aufgaben

KAPITEL 10: Vektorrechnung

10.1 Einführung

10.2 Verknüpfung von Vektoren - Addition - Subtraktion - Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl - Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) - Multiplikation zweier Vektoren (Vektorprodukt) - Multiplikation dreier Vektoren (Spatprodukt, Raumprodukt) - Betrag eines Vektors

10.3 Rechenregeln für Vektoren

10.4 Geometrische Darstellung der Vektorrechnung - Addition - Subtraktion - Multiplikation mit einem Skalar - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Spatprodukt - Projektion eines Vektors auf einen anderen – Cosinussatz

11 Aufgaben

KAPITEL 11: Lineare Abhängigkeit; Koordinatensysteme

11.1 Lineare Abhängigkeit

11.2 Koordinatensysteme

2 Aufgaben

KAPITEL 12: Analytische Geometrie der Ebene (R²)

12.1 Darstellung einer Geraden

a) Punkt-Richtungs-Form

b) Punkt-Punkt-Form

c) Hessesche Normalform der Geraden

d) Koordinatenform

12.2 Umrechnung der Darstellungsarten

a) Parameter-Darstellung - Hessesche Form

b) Hessesche Normalform - Parameter- DarsteIlung

c) Parameter-DarsteIlung - Koordinatenform

d) Koordinaten-Form - Parameter- DarsteIlung

e) Hessesche Form - Koordinatenform

f ) Koordinatenform - Hessesche Form

12.3 Wichtige Zusammenhänge

a) Fußpunkt des Lotes von einem Punkt auf die Gerade

b) Abstand eines Punktes von einer Geraden

c) Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden

d) Abstand zweier paralleler Geraden

4 Aufgaben

KAPITEL 13: Analytische Geometrie des Raumes (R³)

13.1 Darstellung einer Geraden im Raum

a) Punkt-Richtungs-Form

b) Punkt-Punkt-Form

c) Plückersche Geradenform

13.2 Umrechnungen der Geraden-DarsteIlungen

a) Parameter-DarsteIlung - Plückersche Geradenform

b) Plückersche Geradenform - Parameter- DarsteIlung

13.3 Darstellung einer Ebene im Raum

a) Punkt-Richtungs-Form

b) Punkt-Form

c) Hessesche Normalform der Ebene

d) Koordinatenform

13.4 Umrechnung der Ebenen-DarsteIlungen

a) Parameter-DarsteIlung - Hessesche Form

b) Hessesche Normalform - Parameter- DarsteIlung

c) Parameter- Darstellung - Koordinatenform

d) Koordinatenform - Parameter- DarsteIlung

e) Hessesche Form - Koordinatenform

f) Koordinatenform - Hessesche Form

13.5 Wichtige Zusammenhänge

a) Abstand eines Punktes von einer Geraden

b) Abstand eines Punktes von einer Ebene

c) Fußpunkt des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade

d) Fußpunkt des Lotes von einem Punkt auf eine Ebene

e) Abstand zweier Geraden

f) Abstand zweier nicht-paralleler (windschiefer) Geraden

g) Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden

h) Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen

i) Schnittgerade zweier sich schneidender Ebenen

j) Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene

14 Aufgaben

KAPITEL 14: Lineare Gleichungssysteme

14.1 Definitionen

14.2 Lösungsverfahren

19 Aufgaben

KAPITEL 15: Matrizen

15.1 Einführung und Definitionen

15.2 Verknüpfung von Matrizen

15.3 Rechenregeln von Matrizen

15.4 Matrizen und lineare Gleichungssysteme

15.5 Matrizengleichungen

11 Aufgaben

KAPITEL 16: Determinanten 1

16.1 Definition und Berechnungsarten - Sarrus'sche Regel - Laplace'scher Entwicklungssatz

16.2 Rechenregeln für Determinanten

16.3 Anwendungen der Determinantenrechnung

a) Bestimmung des Vektorproduktes zweier Vektoren

b) Bestimmung des Volumens eines Spates

c) Lineare Abhängigkeit

d) Matrix-Inversion

e) Bestimmung des Ranges einer Matrix

f) Lösung von linearen Gleichungssystemen quadratischen Formates - Cramer'sche Regel

g) Ergänzung

18 Aufgaben

KAPITEL 17:

Eigenwerte und Eigenvektoren

Charakteristisches Polynom

Klasseneinteilung von Matrizen

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Matrix-Zerlegung

Anschauliche Deutung

12 Aufgaben